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我们可以通过集值函数的闭图像定理来说明这种等价关系：对紧致的豪斯多夫空间，一个集值函数有闭合图的充分必要条件是：是上半连续的，且对所有,是闭集。因为所有欧几里得空间都为豪斯多夫空间，且在这种叙述方式中必须为封闭值，所以根据闭图像定理，两种叙述方式等价。
角谷不动点定理可以用来证明零和博弈中的极小化极大算法。
纳什利用角谷不动点定理证明了博弈论中的一个重要结论。这一定理暗示，在任何混合策略的多人有限游戏中都必定存在纳什均衡。纳什的贡献使他获得了诺贝尔经济学奖。
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* 北岸引桥全长783米（含桥台），上部结构采用先简支后连续组合小箱梁。
* 跨堤引桥全长200米，主跨90米，跨越同马大堤，上部结构采用单箱单室预应力混凝土变截面悬浇箱梁；下部墩身采用矩形实体结构，钻孔灌注桩基础。
* 江内引桥全长715米，上部结构采用单箱单室预应力混凝土现浇箱梁，移动模架施工；下部采用根式沉井基础。
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在新型雁木多样化的组法中，最具特色的战法非牛角银雁木（ツノ银雁木）莫属。牛角银雁木将右银置于4七（6三）而非5七（5三）。此种阵型源于1607年的左美浓棋谱，当时玉将并非围成雁木。牛角银雁木保留右玉的余地，银将都不在对方桂道上，改变右银位置又能增加活用角行的空间。右银此后有发展为棒银、早缲银、腰挂银甚至银矢仓的可能。
新型雁木的另一个特征是7七（3三）角，用以防范飞车先。在旧型雁木对矢仓的场合，己方若下出7七（3三）角，往往会被对手引角，搭配飞车先狙击8筋（2筋）。新型雁木则欢迎角交换，并利用金将防守左翼，借此避免旧型雁木居角效率不彰的问题。关于雁木左翼较为脆弱的问题，则有7七（3三）金搭配6六（4四）角的相关研究。
* 周刊将棋『秘法巻之壱 雁木伝说』（毎日コミュニケーションズ、1991年8月）
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