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利用隐函数定理将曲面用二元函数f的图像来表示，并且假设点p为临界点，也即f在该点的梯度为0（这总是可以通过适当的刚体运动来实现）。然后p点的高斯曲率就是f在点p的黑塞矩阵（二阶导数组成的2x2矩阵）的行列式。这个定义只要用基本的微积分知识就可以理解杯底或者帽顶“对应”鞍点的区别。

曲面上某个区域的高斯曲率的曲面积分称为总曲率。测地三角形（即黎曼球面几何中的三角形）的总曲率等于它的内角和与的差。正曲率曲面上的三角形的内角和大于，而负曲率曲面上的三角形的内角和小于。零曲率曲面上（如欧几里得平面），其内角和等于。

高斯的绝妙定理断言曲面的高斯曲率由曲面上长度的测量本身决定。事实上，它完全由第一基本形式决定并且可以用第一基本形式及其一阶和二阶偏导数表达。等价地，嵌入在R3中的曲面的第二基本形式的行列式也可以这样表达。定理的"绝妙"之处在于，虽然R3中的曲面S上的高斯曲率的定义明显依赖于曲面各点在空间中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的内在度量就可以决定，而与环境空间没有进一步的关联：它是一个内蕴不变量。精确地讲，高斯曲率在曲面的等度变换下保持不变。

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刘应龙，字文见，号见田，湖广宝应府邵阳县人，民籍，明朝政治人物、诗人。

湖广乡试第八十九名，万历八年（1580年）庚辰科进士。万历十六年（1588年），初知昆山县，治行为一时冠。行取四川道御史，十七年为长芦巡盐御史。在任时浚河建闸，使商运畅行。又上奏制定高家港等场恢复旧额，照例支商。致使贫灶安业，不再逃逸。后来力奏减免苏州浮粮数万石，为当地人称颂。此后巡按山西、福建、畿辅，继掌河南道。任职二十载，风纪肃然。

万历三十三年七月，以考满升南京太常寺少卿添注。致仕归。

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