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考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
由于中每个顶点选入中的概率为，有。类似知中每条边入选的概率为（因为其两端皆要入选），所以。最后，在的画法中，每个交叉有的概率落入，因为每个交叉牵涉四个顶点。（若从同一个顶点出发画出两条边有交叉，则不妨将两条边第一次相交以后的部分对调，从而令交叉的数目变少。由于所考虑的画法仅得个交叉，无法再减少交叉，所以每个交叉必由两条无公共端点的边组成。）因此，，于是上式可写成
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杨建平（12月），河北省井陉县人，前香港中联办副主任。
杨建平于1978年考入南开大学中文系。1982年毕业后任职于中共中央办公厅，1990年至1991年间，任中共费县县委副书记。1991年，调回中央编办任职。1999年进入北京大学政府管理学院，在职攻读博士学位。2000年出任香港中联办办公厅副主任，2002年升任为办公厅主任。2009年起任香港中联办秘书长。2012年出任香港中联办副主任。
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阿尔芒蒂耶尔（P625）面积P2046，位于法国上法兰西大区北部省，该省份为法国最北部的省份及最长的省份，西北濒北海，西接加来海峡省，南至埃纳省和索姆省，东与比利时接壤。
与阿尔芒蒂耶尔接壤的市镇（或旧市镇、城区）包括：P47。
阿尔芒蒂耶尔的时区为UTC+01:00、UTC+02:00（夏令时）。
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