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先利用欧拉公式证明以下初步估计：若图G恰有n个顶点和e条边，则
考虑的一个仅得个交叉的画法。可以在每个交叉删走其中一条边，从而消除所有交叉。于是，剩下的边组成一幅平面图（因为不再有交叉），其边数至少为，顶点数则仍旧为。根据平面图的欧拉公式，，所以上述估计成立。（更准确来说，对于，有。）
有了上述引理，就可以利用probabilistic method证明原来的交叉数不等式。设为待定的概率参数，依如下步骤构造的随机子图：1. 以概率独立随机选取的各个顶点；2. 若中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分别以、和表示的边数、顶点数和交叉数。由于是的子图，的画法已含有的画法。由引理，得
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范彊，三国时期人物，原为张飞部下。221年，他与张达联手刺杀张飞，随后投奔东吴，之后行踪不明。
史书对其二人杀张飞的经过描述非常简略。起因可能是张飞刑罚过严，经常虐待下属，却仍把这些人留在左右，以往刘备常劝张飞这样会惹祸上身，但张飞不听从。章武元年秋七月，刘备讨伐东吴之时，张飞率军从阆中出发，准备前往江州。在出发前，部下张达、范彊杀死了张飞，并带着张飞的首级投奔孙权。之后下落史书记载阙如。
《三国演义》对此描述较详，惟把范彊（「彊」为「强」的异体字）之名误写为「疆」。关羽败走麦城，为孙权所俘杀。张飞为替关羽吊丧，出征东吴前限部将范彊、张达三日内造出三军白盔白甲。范彊、张达二人请求宽延期限，张飞不许，鞭打后扬言斩杀二人。二人决定先下手为强，趁张飞酣睡时加以刺杀，并割下首级献与东吴投诚。孙权为避免战事扩大，将二人押送回蜀汉，被张飞之子张苞万剐凌迟。（参见《三国演义》第81回至第83回）
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英国水文局负责为英国皇家海军提供运营支持。英国水文局为国防和商业航运业提供服务，有助于确保海上人命安全公约、保护海洋环境并提升全球贸易的效率。英国水文局与其他国家海道测量办公室和国际海道测量组织 (IHO)合作，致力于制定和提高水道测量、制图和导航的全球标准。
英国水文局为国际船舶贸易提供符合海上人命安全公约标准的海图和出版物。
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