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其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。
定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设为函数列 的下极限。对每个正整数，逐点定义下极限函数：
据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：
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* 1982年：《胸怀大志》（无线电视剧《猎鹰》主题曲）
* 2007年6月3日：《2000靓歌再重聚》（区瑞强主持，香港电台第二台）
* 2014年6月2日：《霎时冲动》（颜联武主持，D100）
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西魏恭帝时，改雍州置，治所在襄阳县（今湖北省襄阳市汉水南襄阳旧城）。隋朝时，为襄阳郡。唐朝建立，全国郡改为州，天宝元年（742年），再改为襄阳郡。乾元元年（758年），全国郡改为州，复为襄州。土贡：纶巾，漆器，库路真二品：十乘花文、五乘碎石文，柑，蔗，芋，姜。户四万七千七百八十，口二十五万二千一。下领七县：襄阳县、邓城县、谷城县、义清县、南漳县、乐乡县、宜城县。辖区约今湖北省襄阳、谷城、丹江口、南漳、宜城等市县地。
北宋宣和元年（1119年）升襄阳府。唐前期为山南东道采访使、后期为节度使驻地。宋朝时为京西南路治。以产漆器著名。
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