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法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令为测度空间中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在上可积的正值函数，使得对所有的都有，那么
在以上的条件下，如果函数列在上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数，那么
证明：是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。
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波特继续与沃恩合作出版儿童图书，1905年，她实现了经济独立。 同年7月，她用畅销书的收入和一小笔继承的财产在湖区的近索里（Near Sawrey）购置了一片34英亩（约14公顷）的农场，农场名叫“山峰”。诺曼·沃恩（Norman Warne）是波特长期合作的编辑，也是她的未婚夫。然而，仅在两人秘密订婚的几周后，诺曼便去世了。波特开始变得绝望，但仍然继续投身于童书创作。
1906年，当波特刚完成 《杰里米·费舍尔先生的故事》（The Tale of Mr. Jeremy Fisher）时，她考虑将自己的读者定位到更年轻的群体去。于是，《娃娃小姐的故事》,《一只暴躁的恶兔》和《狡猾的老猫》三本书相继问世。 深受乔治·鲁克香克插图的影响，她打算把三本书出版成"鲁克香克漫画字母风格的全景排版"，这一说法出自泰勒。 全景排版指的是将独立页面的图片及文字按从左到右的顺序排布在长条纸上。
1906年7月，波特在山顶上创作了这本书，主角小猫的形象是她从温德米尔的泥瓦匠那里借鉴的。这是个很棘手的主题。“那原本是个惹人厌的模型，”波特写道，“我借了只小猫，但我更欣慰得到了与画作打交道的机会。这个皮克年轻而美好，却也最令人害怕。”传记作者琳达·李尔解释道，“皮克”这个词是波特过去用来形容像她表妹卡洛琳那样鬼马精灵的人，以及淘气的小猫和小孩子。波特继续把那只猫的形象用在她的下一部作品《汤姆猫的故事》中。那本书创作于1907年，她竭力刻画了“所有的皮克——尤其是那些爬上了我花园墙的家伙”。娃娃小姐是汤姆猫的众姐妹之一，她除了出现在《汤姆猫的故事中》，还是《塞缪尔络腮胡或不倒翁布丁的故事》中的角色（1908）。
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利希滕斯坦出生于汉堡市，曾在耶拿大学和黑尔姆斯特大学学习医学。1802年，他远赴南非，曾担任开普殖民地巴达维亚共和国总督Jan Willem Janssens的私人医生。在1802-1806年的4年间，他对自然、殖民政治和当地语言有了更深入的认识。1811年，他出版了《南非游记：1803年，1804年，1805年和1806年》。1811年，他被柏林洪堡大学聘请为动物学教授；1813年，他被任命为柏林自然博物馆馆长；1829年当选瑞典皇家科学院外籍会员。
1857年，他因中风在科瑟到基尔的一艘轮船上去世。
利希滕斯坦也为柏林动物园的建立付出了很多心血。他曾说服腓特烈·威廉四世为他的鸡舍提供土地。
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