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令S为欧几里得空间上的一个非空，紧致，凸集的子集。令为上半连续的集值函数，且在所有上非空，闭合，且为凸。则函数有不动点。
我们可以通过集值函数的闭图像定理来说明这种等价关系：对紧致的豪斯多夫空间，一个集值函数有闭合图的充分必要条件是：是上半连续的，且对所有,是闭集。因为所有欧几里得空间都为豪斯多夫空间，且在这种叙述方式中必须为封闭值，所以根据闭图像定理，两种叙述方式等价。
角谷不动点定理可以用来证明零和博弈中的极小化极大算法。
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* 1955年8月1日：南端村的部分地区被并入山香町。
* 2005年10月1日：杵筑市、山香町、大田村合并为新设置的杵筑市。
* 日丰本线：立石车站 - 中山香车站 - 杵筑车站
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薛谨容貌魁伟，读了很多史书，才能高超学问广博。刘裕擒获姚泓后，征召薛谨为相府行参军，跟随刘裕渡过长江，薛谨很快转任记室参军。薛辩将要归附北魏时，秘密派人报告薛谨，薛谨于是从彭城前来投奔。北魏朝廷称赞他，任命薛谨出任河东郡太守。薛谨后承袭了父亲的爵位平西将军、汾阴侯。薛谨治理的地区与胡夏赫连勃勃区域连接，他聚集部众抗击敌人，很有声威和恩惠。始光三年（426年），魏太武帝拓跋焘诏令司空奚斤率领四万五千人出兵蒲阪，宋兵将军周几率领一万余人出兵陕城讨伐赫连昌，敕令薛谨率领侧翼部队作为前锋带路，薛谨活捉了胡夏东平公乙兜。北魏攻克蒲阪后，魏太武帝把新旧之民合并在一郡之中，薛谨仍为太守、平西将军。神䴥三年（430年），薛谨出任使持节、秦州刺史，平西将军如故。山胡白龙据险叛逆，魏太武帝诏令镇南将军奚眷与薛谨一起担任都将，从太平向北进军，讨伐平定了白龙。薛谨加号安西将军，封涪陵郡公，仍然为秦州刺史。太延元年（435年），薛谨讨伐吐没骨将其平定。薛谨从太守升任刺史后，恩威兼施，地方的风气大为改观。当时处于兵荒马乱之后，儒学沉寂。薛谨命令建立学校，教授儒家诗书，春夏秋三季闲暇之时，都要求人们接受学习，薛谨亲自巡视乡里，主持考试，于是黄河汾水一带儒学兴盛。太平真君元年（440年），薛谨被征召返回京师，出任内都坐大官，辅佐朝政。薛谨很受赏识器重，魏太武帝经常向他咨询为政之道，多次上门拜访。太平真君五年（444年），薛谨担任都将，跟随魏太武帝北伐柔然，与中山王拓跋辰、尚书奚眷等人因为延误预定的日期被定罪。二月辛未（444年3月10日），薛谨等人在都城南边被斩首，时年虚岁四十四。不久，朝廷赠予薛谨镇西将军、秦雍二州刺史，谥号元公。
* 薛初古拔，北魏镇西大将军、开府、南豫州刺史、河东康公
* 薛积善，北魏中书博士、临淮王拓跋提友
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