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爪在无爪图的定义中是很明显的,这种图的导出子图没有任何爪结构。它们也是惠特尼图同构定理的特例之一:一般来说,同构线图除了爪与K3的特例外本身就是同构的。
星是一种特殊的树。与任何树一样,星可以由一个普吕弗序列编码产生;普吕弗序列为Kk 的星由k − 1个中心点的复制形成。
一些图常量是用星来定义的。荫度是一个图表可以划分成的最小森林数(森林里的所有树都是星)。图的星色数是对顶点着色所需的最小颜色数,该着色使得任意两个颜色类在一起均可形成一个所有连接组成部分都是星的子图。分支宽度为1的图即是每个连接的组成部分都是星的图。
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同样地,如果知道音b和音分值n,那么另一个音a可用下列公式算出:
为了比较不同的调律系统,会把不同的音程差距用音分表示。例如在纯律中,大三度用频率比表示为5:4,使用上面的公式可算出其约为386音分,在十二平均律钢琴的等分音程中则为400音分。这14音分的差距,大约是一个半度的1/7,是很容易听出来的。人类的最小可觉差大约是6音分,某些听力较好的人可以达到4~5音分。
人类可察觉的音分差是难以确定的,每个人的分辨能力都是不同的。一位作家曾说过人类能分辨5-6音分的音高差距。 分辨音分差的阈限也会因为音高的音色作用而明显变化。在一项研究中,音色的变化降低了学生音乐家识别走调音的能力,使他们识别音高的误差达到了±12音分。 这项研究中也确认,如果听者能更明白的知道音高的前后关系,他们对音高的判断会更准确。
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在亚历山大·赫利俄斯的名字中,第一个名字亚历山大是其母克利奥帕特拉七世仰慕亚历山大大帝而为他取的,既昭示了他的希腊马其顿人的血统,也是托勒密王朝先王托勒密十世(亚历山大一世)和托勒密十一世(亚历山大二世)的绰号,意为“人类的保护者”。第二个名字赫利俄斯在希腊语中是太阳的意思,也是希腊神话中太阳神的名字。他之所以获得“赫利俄斯”的名字是因为他与克利奥帕特拉·塞勒涅二世是双胞胎,而希腊神话中太阳神赫利俄斯与月亮女神塞勒涅(克利奥帕特拉·塞勒涅二世的第二个名字)也是双胞胎,克利奥帕特拉与亚历山大正是神话的现实版本。
亚历山大·赫利俄斯在托勒密埃及的首都亚历山大里亚出生,并在此成长与接受教育。在公元前34年的亚历山大里亚奉献中,他被父亲马克·安东尼宣布为亚美尼亚、米底亚和帕提亚的国王。而实际上这三个王国分别被阿尔塔瓦兹德二世(被马克·安东尼俘虏)、阿尔塔瓦兹德一世和弗拉特斯四世所统治,所以他可能只是名义上获得了这三个王位。在前33年,他与米底亚国王阿尔塔瓦斯德斯一世的女儿伊娥塔帕公主订婚。
前31年,安东尼和克利奥帕特拉七世的联军在希腊的阿克提乌姆被屋大维(后来的第一位罗马皇帝奥古斯都)打败。第二年,在屋大维和他的罗马军队攻占亚历山大里亚之际,安东尼和女王双双自杀。伊娥塔帕逃离埃及,回到她父王的身边,此后她的命运不为人所知。
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