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据罗马时代的犹太历史学家弗拉维奥·约瑟夫斯记载，托勒密·阿皮翁的母亲名为厄瑞涅（Irene）。他的母亲厄瑞涅出身昔兰尼加，对于她的身世不清楚，她在前150年到前127年间侍奉托勒密八世，并且是他的小妾之一。当托勒密八世于前145年重返埃及成为国王，厄瑞涅也跟著一同前往。
托勒密·阿皮翁很有可能就出生在昔兰尼加的首都昔兰尼，但他在他父亲的埃及宫廷内长大，直到前116年为止他一生大多时间都在埃及。前116年，托勒密八世逝世，按照托勒密八世的遗属，昔兰尼加给了托勒密·阿皮翁，在那之后托勒密·阿皮翁成为昔兰尼国王，他成为国王这件事并没有遭到什么反对。
对于托勒密·阿皮翁在统治期间的记载很少，仅知道他逝世于前96年。他父亲遗属中原本就计划在托勒密·阿皮翁逝世后，把昔兰尼加给予罗马人。因此托勒密·阿皮翁忠实执行父亲的遗愿，他既没有结婚也没有继承人，在他的遗属中他把王国献给罗马共和国。然而此举罗马元老院没有接受，元老院并没有立刻把昔兰尼加收入领土中，而仅宣布昔兰尼加的各城市主权自由，当昔兰尼加三十年后陷入混乱当中之时，罗马才把昔兰尼加纳入行省中安顿。
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长州五杰指的是日本江户时代末期长州藩政府秘密派往英国留学的五位藩士，包括伊藤博文（伊藤俊辅）、山尾庸三、井上胜（野村弥吉）、井上馨（井上闻多）、远藤谨助。他们均在后来明治维新和之后的明治政府中发挥了重要作用。
1863年，五人在英国驻日领事Anthony James Gower和怡和洋行驻横滨机构的帮助下，化装为英国水手到达上海，然后，藏在一艘鸦片船中，再分为两组，跨海抵达英国，入读伦敦大学学院。导师为亚历山大·威廉·威廉姆逊（Alexander William Williamson）。
伊藤博文和井上馨因国内发生与英法美荷4国作战的下关战争，于1864年紧急回国调停。伊藤后曾担任日本首相。井上馨曾任外交等部大臣。
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在定义分离公理之前，让我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（须注意的是，可分离的集合不一定等同于下一节所定义的「分离空间」。）
分离公理是利用拓扑的方法来分辨不相交的集合及相区别的点。不只要拓扑空间内的元素是相区别的，更要这些元素是「拓扑可区别的」；不只要拓扑空间内的子集是不相交的，更要这些子集是（以某种方式）「可分离的」。分离公理声称，无论如何，若点或集合在某些较弱意思下是可区别的或可分离的，也必须在某些较强的意思下是可区别或可分离的。
称为拓扑可区分的，当且仅当的邻域系和不相等（即，存在某个的邻域，不是的邻域，或反之）。
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